《异分母分数加减法》教学设计
教学内容：人教版小学数学五年级下册第110页、111页例1。
1、理解异分母分数加减法必须先通分的道理，掌握异分母分数加减法的计算方法，能正确地进行计算。
2、渗透转化的数学思想，进一步培养学生自觉验算的良好习惯。
3、让学生在交流的过程中体验成功的喜悦，增强学生自主学习、合作交流的意识。
教学难点：理解异分母分数加减法为什么先通分的道理。
教学准备：课件、口算卡片
一、复习铺垫。
1、出示卡片口算
4/5-2/5= 3/4-1/4= 2/7+3/7= 8/9+2/9= 16/18-15/18=
3、为什么计算同分母分数加减法可以分母不变，只把分子相加减？（因为分母相同，也就是分数单位相同，单位相同的数可以直接相加减。）
二、创设情境，导入新知。
1、根据情境提问题并列式。
向学生介绍什么是生活垃圾，以及生活垃圾对环境的污染情况。渗透不乱扔垃圾，自觉把垃圾分类处理的环保教育。
用课件出示例1的垃圾分类图，请学生仔细观察，说一说，从图中了解到了哪些信息？
根据情境中的数据，提出问题：（1）废金属和纸张垃圾是垃圾回收的主要对象，它们在生活垃圾*占几分之几？ （2）危险垃圾多还是食物残渣多？多多少？
引导并指名学生列式： 1/4+3/10 3/10-3/20 （板书算式）
2、比较不同，导入新课
教师：黑板上这两道题，同学们能直接算出结果吗？（不能）刚才那些题你们算得特别快，为什么这两道不行呢？它们有什么区别吗？（指名回答）
教师：是的，像黑板上这样，由不同分母分数组成的加减法，叫异分母加减法。与同分母分数加减法的计算方法不同。这一节课我们就来研究异分母分数加减法的计算。（板书课题：异分母分数加减法）
三、 新课
<一>例1（1）1/4+3/10
1、理解分母不同，不能直接相加
教师：我们先看第一道加法题：1/4+3/10 ，为什么分母不同，就不能直接相加呢？（指名回答：分母不同，也就是分数单位就不同，就不能相加）
看扇形图加深理解。图片出示：
教师：我们再从图上看一下，用两个大小相同的圆表示单位1，根据分数的意义，涂色的部分分别表示1/4和3/10。1/4的分数单位是1/4，用这样的一个大扇形表示，3/10的分数单位是1/10，用这样的一个小扇形表示，它们的大小不同。1/4+3/10就是用一个大扇形加上三个小扇形，能直接相加吗？所以，1/4+3/10因为分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加。
2、引导学生合作交流
教师：只要解决了什么问题，1/4和3/10就可以直接相加了？（转化成分母相同的分数）
用什么方法可以转化呢？同学们能用学过的知识解决吗?
你们可以先自己想一想，然后再和小组同学一起讨论研究。
学生分组讨论、试算，教师**指导。
3、集体交流
教师：都研究的差不多了，我们一起交流一下。哪个小组同学愿意到前边谈谈你们的想法？
各小组介绍各自的计算和思考过程，引导学生比较评价，选出最好的方法。
板书：1/4+3/10=5/20+6/20=11/20
4、课件演示
教师：为了加深理解，我们再从图上看一看1/4+3/10的过程。课件出示：
教师：1/4和3/10因为分母(不同).也就是分数单位不同，不能直接相加，所以同学们就用通分的方法，把它们转化为分母相同的分数5/20和6/20。这样分数单位就相同了，都是1/20。你看表示1/4和3/10的两个图形都变成了由许多个大小一样的小扇形组成的图形，就可以直接相加减了。
<二>例1（2） 3/10-3/20
1、 引导学生用刚才探索出来的方法，计算3/10-3/20。请一名学生板演，其余学生在练习本上试算。
2、请板演的学生说说是怎样计算这道题的。
<三>总结计算方法
1、教师：我们已经计算出两道异分母分数加减法的题了，你们考虑过没有，我们计算这类题的关键是什么呢？（通分）结合以上的计算，同学们能试着总结出异分母分数的计算方法吗？可以跟同桌交流一下。
2、指名学生回答，教师把这个计算方法写在黑板上。（板书：先通分，再按同分母分数加减法的方法计算）齐读一遍。
<四>、阅读课本
教师：今天我们所学的是课本110页和111页的内容，请同学们打开书，自由阅读一下这两页，再回顾反思一下新知识，如果有什么疑问还可以提出来和大家交流。
四、巩固练习
1、计算1/3+5/6= 5/8-5/10= （黑板）
教师：刚才我们通过研究黑板上的2道例题，总结出了异分母分数加减法的计算方法。按照这个计算方法同学们能把这两道题又对又快的算出来吗？
集体订正。请学生讲一讲算法。
提醒注意：结果能约分的要约分成最简分数，结果是假分数要化成带分数。
2、验算2/3-4/9=2/9 ( ) 3/5+2/7=5/12 ( )
教师：小明也运用今天学的新知识计算了两道题（课件出示），但他没有检查就跑出去踢球了，他计算得正确吗？同学们能帮他验算一下吗？在练习本上写出验算过程。
交流验算方法和结果。引导学生体会分数加减法的验算方法与整数加减法的验算方法相同，一定要养成自觉检验的良好习惯。
3、解决实际问题：
教师：下面我们用新知识解决一个生活中的问题。
张爷爷家后园有一块菜地，种豆角用了总面积的3/8,种黄瓜用了总面积的1/2。根据以上信息你能提出什么数学问题，能自己解答出来吗？
请学生把提出的问题和解答的过程写在练习本上。
集体交流展示。
五、总结
这节课我们学习了异分母分数加减法，同学们通过积极探索和互相的合作交流，自己找到了计算的方法，并解决了许多相关的问题，都非常不错。老师希望同学们能灵活运用这些知识，在生活中解决更多的问题。
分母不变，只把分子相加、减 。
例：（1） 1/4+3/10=5/20+6/20=11/20
（2） 3/10-3/20=6/20-3/20=3/20
拓展阅读
1、八年级数学因式分解教学设计与反思
各位评委老师：
上午好！我是最后一号，非常不好意思，因为我让大家痛苦而充实的等到现在。我今天说课的课题是因式分解（板书课题§4.1因式分解）。我将主要从教材分析，教法分析，学法指导，教学过程及补充说明等五个方面来具体阐述这节课。下面开始我的说课。
一、教材分析
（一）教材的地位与作用
本节课是初中数学人教北师大版八年级下册第四章第一节的内容。在此之前，学生已经学习了整式乘法的相关知识，这为过渡到本节的学习起了铺垫作用。同时本节课也为后续知识一元二次方程求解方法的学习奠定一定的作用，因此在教材中本节课起着承上启下的过渡作用，而且本节课镶嵌着深刻的数形结合思想、类比思想，有利于学生思维的深化。
（二）教学目标
根据以上对教材的认识分析和学生的实际情况，结合数学新课标，我制定如下教学目标：
1、知识与技能
（1）了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。
（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系。
（3）培养和提高学生分析、解决问题的能力
2、过程与方法
通过因式分解的学习，让学生经历因式分解概念的探索过程，感知、了解数学概念形成的方法，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。
3、情感态度与价值观
鼓励学生积极主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望；让学生体会数形结合的数学思想；领会数学的应用价值，培养学生善于观察、勇于质疑的优良品质。
（三）教学重点、难点
根据新课程标准，在吃透教材的基础上，我将本节课的重难点确立为因式分解的概念，通过多层次展示，多角度分析，多方面练习，以达到突出重点，突破难点的目的。
二、教法分析
数学是思维的体操，是一门以培养人的思维，发展人的思维为目的的重要学科，因此，在教学中，教师不仅要使学生“知其然”，更要使学生“知其所以然”。
我们在师生既为主体，又为客体的原则下，展现获取知识和方法的思维过程。基于本节课的特点和学生的实际情况，主要采用启发诱导、自主学习、合作探疑相结合等教学方法。
三、学法指导
现代的文盲不再是不识字的人，而是不会学习的人。数学课重在让学生逐渐学会自主学习，养成良好的学习习惯和规范的数学思维方式、方法。基于此，在学生的学习过程中，教师要对学生顺势启发、恰当点拨，以达到优化学生学习结构的目的。
结合教材、教法和学情，本节课借助多媒体课件、活页学案等辅助手段进行，以达到增加课堂直观效果，打造高效课堂的目的。
四、教学过程
结合《数学新课标》和学生已有的知识及生活经验，根据新课改的理念，本节课我主要设计以下几个教学环节：①温故知新（3分钟）②探究新知（25分钟）③基础过关（7分钟）④课堂小结（3分钟）⑤课堂自测（5分钟）⑥课堂质疑（2分钟）
接着，我再细说一下这几个环节
（一）温故知新
给出以下两个抢答题
这一环节的目的既达到温习乘法分配律，又起到预热学生思维的目的，以保证学生尽快进入课堂学习的角色。
（二）探究新知
（1）想一想
能被 整除吗？还能被哪些数整除？你是怎么得出来的？
（2）议一议
你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.
（3）拼一拼
分别写出箭头两边的面积
_____________________________=___________________
2、八年级数学因式分解教学设计与反思
撰写人：
王兴高 教学内容分析：
因式分解是进行代数式恒等变形的重要手段之一，因式分解是在学习整式四则运算的基础上进行的，它不仅在多项式的除法、简便运算中等有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三解函数式的恒等变形提供了必要的基础，因此学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。由于本节课后学习提取公因式法，运用公式法，分组分解法来进行因式分解，必须以理解因式分解的概念为前提，所以本节内容的重点是因式分解的概念。由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对初一学生还比较生疏，接受起来有一定难度，再者本节还没涉及因式分解的具体方法，所以理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法是教学中的难点. 教学目标
认知目标：（1）理解因式分解的概念和意义
（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。
情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。 目标制定的思想
1．目标具体化、明确化，从学生实际出发，具有针对性和可行性，同时便于上课操作，便于检测和及时反馈。
2．课堂教学体现能力立意。
3．寓德育教学方法
(1)．采用以设疑探究的引课方式，激发学生的求知欲望，提高学生的学习兴趣和学习积极性。
(2)．把因式分解概念及其与整式乘法的关系作为主线，训练学生思维，以设疑——感知——概括——运用为教学程序，充分遵循学生的认知规律，使学生能顺利地掌握重点，突破难点，提高能力。
(3)．在课堂教学中，引导学生体会知识的发生发展过程，坚持启发式，鼓励学生充分地动脑、动口、动手，积极参与到教学中来，充分体现了学生的主动性原则。
(4)．在充分尊重教材的前提下，融教材练习、想一想于教学过程中，增设了由浅入深、各不相同却又紧密相关的训练题目，为学生顺利掌握因式分解概念及其与整式乘法关系创造了有利条件。 教学过程安排
一、提出问题，创设情境
问题：看谁算得快？
(1)若a=101,b=99,则a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400
(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2=10000
(3)若x=-3,则20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0
二、观察分析，探究新知
(1)请每题想得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法
(2)观察：a2-b2=(a+b)(a-b)
①的左边是一个什么式子？右边又是什么形式？
a2-2ab+b2=(a-b) 2
②
20x2+60x=20x(x+3) ③
(3)类比小学学过的因数分解概念，（例42=2×3×7 ④）得出因式分解概念。 板书课题： 因式分解
1．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。
三、独立练习，巩固新知
练习
1．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
①（x+2）（x-2）=x2-4
②x2-4=（x+2）（x-2）
③a2-2ab+b2=（a-b）
2 ④3a（a+2）=3a2+6a
⑤3a2+6a=3a（a+2）
结合：a2-b2=========（a+b）（a-b）
整式乘法
说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。
(2)∵xy(
)=2x2y-6xy2
∴2x2y-6xy2=xy(
)
(3)∵2x(
)=2x2y-6xy2
∴2x2y-6xy2=2x(
)
四、强化训练，掌握新知：
练习3：把下列各式分解因式：
(1)2ax+2ay
(2)3mx-6nx
(3) x2y+xy
2 (4) x2+-x
(5) x2-0.01
（让学生上来板演）
五、整理知识，形成结构（即课堂小结）
1．因式分解的概念 因式分解是整式中的一种恒等变形
2．因式分解与整式乘法是两种相反的恒等变形，也是思维方向相反的两种思维方式，因此，因式分解的思维过程实际也是整式乘法的逆向思维的过程。
3．利用2中关系，可以从整式乘法探求因式分解的结果。
4．教学中渗透对立统一，以不变应万变的辩证唯物主义的思想方法。
六、布置作业
1．作业本
（一）中§7.1节
评价与反馈
1．通过由学生自己得出因式分解概念及其与整式乘法的关系的结论，了解学生观察、分析问题的能力和逆向思维能力及创新能力。发现问题，及时反馈。
2．通过例题及练习，了解学生对概念的理解程度和实际运用能力，最大限度地让学生暴露问题和认知误差，及时发现和弥补教与学中的遗漏和不足，从而及时调控教与学。
3．通过课后作业，了解学生对知识的掌握情况与综合运用知识及灵活运用知识的能力，教师及时批阅，及时反馈讲评，同时对个别学生面批作业，可以更及时、更准确地了解学生思维发展的情况，矫正的针对性更强。
4．通过课堂小结，了解学生对概念的熟悉程度和归纳概括能力、语言表达能力、知识运用能力，教师恰当地给予引导和启迪。
3、八年级数学因式分解教学设计与反思
一、教材分析：
本节课的内容是轴对称。轴对称是对称中非常重要的一种，小学时期就已经对此有所了解。轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学与现实联系的重要内容。因此，在教学时，要先让学生观察现实生活中的对称现象，找出其中潜在的规律，归纳出轴对称图形的特征，从而引出轴对称图形的概念，并让学生总结出判定一个图形是否为轴对称图形的方法。这是前半节的内容，而关于两个图形成轴对称，关键点是要让学生理解这是两个图形之间的一种位置关系，即两个图形沿某条直线折叠之后能重合。两者之间的联系是定义中都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合。不同的是前一个是针对一个图形而言，后一个是叙述两个图形的一种特殊位置。在教学中要让学生学会研究、发现、归纳、比较、运用的研究问题的方法，这对以后学习数学都有帮助。
二、教学目标：
1．了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系．
2．探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的作用． 3．了解线段垂直平分线的概念．
三、教学重点：能识别轴对称图形和两个图形成轴对称，并找出图形的对称轴。
四、教学难点：轴对称图形与轴对称的联系与区别。
五、教学准备：现实生活中的对称图形、剪纸
六、教学课时：1课时
七、教学过程：
A、通过图片中的对称现象引出课题
1、出示图片，请学生观察图片，描述图片中反映的现象。
2、一段时间后，鼓励学生积极发言，阐述自己的看法。
3、教师肯定学生的表现，强调指出：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，我们都可以找到对称的例子。本节课就来讨论轴对称。
B、 探究轴对称的相关概念和性质
一、轴对称图形
1、剪纸是我们中华传统文化的瑰宝，展示剪纸图片，这些剪纸和窗花有什么共同的特点？思考一下。
2、活动：学剪纸。同学们，要想更深入地了解窗花的特点，我们就亲手来制作一个。跟我学剪纸。
3、展开你的剪纸，你发现了什么？（展开后对折的两部分会重合在一起。）
4、教师肯定学生的积极表现，引导全班总结出轴对称图形、对称轴、对称的概念： 像窗花一样，如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条对称轴对称。
5、巩固练习：展示图片，它们是轴对称图形吗？
6、请学生列举日常生活中见到的对称现象。
7、抢答题：哪些数字是轴对称图形？找出它的对称轴。
8、出示图片，提问，设置情境：是否有些图形的对称轴不止一条呢？（如正方形有四条、圆有无数条。）
二、轴对称
1、展示图形，提问：观察下面的图形，它们又有什么共同的特点？试找出它们的对称轴。
2、鼓励学生发言。
3、教师总结指出：图中的每一对图形，如果沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合。（归纳：轴对称、对称轴、对称点的概念。）
4、练习：判断下列哪些数字、汉字是轴对称图形。
5、总结对称图形对称轴的画法及轴对称图形的基本性质。
6、游戏找规律填图形。
7、分组讨论，思考：（1）成轴对称的两个图形全等吗？（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？
8、比较归纳：
区别 联系 轴对称图形 ＿个图形
两个图形成轴对称 ＿个图形
１．沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够＿＿＿＿． ２．都有＿＿＿＿． ３．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线＿＿＿；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是＿＿＿＿．
三、 巩固练习
四、归纳小结：本节课你学到了什么？
板书： 13.1轴对称 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直 线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条 直线（成轴）对称．
两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段．
教学反思：让学生们积极参与课堂活动，举出身边生动的例子，都是学生非常感兴趣的活动。但是也是最容易“乱”的环节。除了老师平时要抓好学生游戏时的课堂常规，还可以根据本教材的内容，引导学生创设美好的生活世界，而不是乱哄哄的世界，对于学生不恰当的表现要及时的制止加以引导，师生共同营造一个积极、向上、自律的课堂氛围。
4、八年级数学因式分解教学设计与反思
复习：
一、去括号法则：a+（b+c）=a+b+c a-（b+c）=a-b-c 添括号法则：a+b+c=a+（b+c） a+b+c=a-（-b-c）
二、乘法公式的深化应用．
例：计算（1）（x+2y-3）（x-2y+3） （2）（a+b+c）
2 （3）（x+3）2-x2
（4）（x+5）2-（x-2）（x-3）
423534 （5）28xy÷7x （6）-5abc÷15ab
23243 42 （7）（2xy）·（-7xy）÷12xy （8）5（2a+b）÷（2a+b）
§15．5．1 提公因式法
2 （1）20×（-3）+60×（-3）
22 （2）101-9922 （3）57+2×57×43+43 （学生在运算与交流中积累解题经验，复习乘法公式）
=20×9+60×-3 =180-180=0 2 或20×（-3）+60×（-3）
2 =20×（-3）+20×3×（-3） =20×（-3）（-3+3）=-60×0=0．
22 （2）101-99=（101+99）（101-99）
=200×2=400 22 （3）57+2×57×43+4322 =（57+43）=100 =10000．
在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，•有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解．
把下列多项式写成整式的乘积的形式
2 （1）x+x=_________ 2 （2）x-1=_________ （3）am+bm+cm=__________ 根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：
2 （1）x+x=x（x+1）
2 （2）x-1=（x+1）（x-1）
（3）am+bm+cm=m（a+b+c）
[师]像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．
可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维．
再观察上面的第（1）题和第（3）题，你能发现什么特点．
我发现（1）中各项都有一个公共的因式x，（2）中各项都有一个公共因式m，是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢？
于是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，•其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商，•像这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2．例题教学，运用新知． [例1]把8ab-12abc分解因式．
323 [例1]分析：先找出8ab与12abc的公因式，再提出公因式．•我们看这两项的系
323数8与12，它们的最大公约数是4，两项的字母部分ab与abc都含有字母a和b．其中a
22的最低次数是1，b的最低次数是2．我们选定4ab为要提出的公因式．提出公因式4ab后，2•另一个因式2a+3bc就不再有公因式了．
总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行．可以概括为一句话：括号里面分到“底”，这里的底是不能再分解为止． [例2]分析：（b+c）是这两个式子的公因式，可以直接提出．这就是说，公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出．
22 注意：x（3x-6y+1）=3x-6xy+x，而x（3x-6y）=3x-6xy，•所以原多项式因式分解为x（3x-6xy+1）而不是x（3x-6y）．这就是说，1作为项的系数，通常可以省略，•但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，可以概括为：某项提出莫漏1．
2 =-2a（2a-8a+9）
注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．可以用一句话概括：首项有负常提负．
[例5]分析：先找6（x-2）与x（2-x）的公因式，再提取公因式．因为2-x=-（x-2），•所以x-2即公因式．
=6（x-2）-x（x-2） =（x-2）（6-x）．
总结：有时多项式的各项从表面上看没有公因式，但将其中一些项变形后，•但可以发现公因式，然后再提取公因式．
§15．5．2．1 公式法
（一）
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
22 问题3：你能将a-b分解因式吗？你是如何思考的？
1．多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，•也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．
2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，•就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．
3．对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能进行因式分解．
22 要将a-b进行因式分解，可以发现它没有公因式，•不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式： 323 a-b=（a+b）（a-b）．
多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方差公式分解因式．
22
观察平方差公式：a-b=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？
（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，•“平方差”是得分解因式的多项式．
由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．
[做下列填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式．•也可以对积
22的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间的复习，避免出现4a=（4a）•这一类错误] 填空：
22 （1）4a=（ ）；
（2）22422b=（ ）； 94
2 （3）0.16a=（ ）；
222 （4）1.21ab=（ ）；
142x=（ ）； 44422 （6）5xy=（ ）．
9 （5）2 例题解析：
222443 （1）4x-9 （2）（x+p）-（x+q） （1）x-y （2）ab-ab 可放手让学生独立思考求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析．
[师生共析] [例1]（1）
中的2x，（2）中的x+p•相当于平方差公式中的a；（1）中的3，（2）中的x+q相当于平方差中的b，进而说明公式中的a与b•可以表示一个数，也可以表示一个单项式，甚至是多项式，渗透换元的思想方法）
442222 [例2]（1）x-y可以写成（x）-（y）的形式，这样就可以利用平方差公式进行因
2222式分解了．但分解到（x+y）（x-y）后，部分学生会不继续分解因式，针对这种情况，可以回顾因式分解定义后，•让学生理解因式分解的要求是必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止．
3 （2）不能直接利用平方差公式分解因式，但通过观察可以发现ab-ab•有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解．
22 =（x+y）（x+y）（x-y）．
32 （2）ab-ab=ab（a-1）=ab（a+1）（a-1）．
22 2 （1）36（x+y）-49（x-y） （2）（x-1）+b（1-x）
(xy)2(xy)2 （3）（x+x+1）-1 （4）-．
4422
§15．5．3．2 公式法
（二）
问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，•分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？
问题2：把下列各式分解因式．
22 22 （1）a+2ab+b （2）a-2ab+b 将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．
两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，•等于这两个数的和（或差）的平方．
22222 问题2其实就是完全平方公式的符号表示．即：a+2ab+b=（a+b），a-2ab+b（a-b）2．
[师]今天我们就来研究用完全平方公式分解因式．
下列各式是不是完全平方式？
2 （1）a-4a+4 22 （2）x+4x+4y （3）4a+2ab+22 212 b4 （4）a-ab+b2 （5）x-6x-9 2 （6）a+a+0.25 2222 结果：（1）a-4a+4=a-2×2·a+2=（a-2） （3）4a+2ab+2212111222 b=（2a）+2×2a·b+（b）=（2a+b）42222
2
222 （1）16x+24x+9 （2）-x+4xy-4y222 （1）3ax+6axy+3ay （2）（a+b）-12（a+b）+36
2222 [例1]（1）分析：在（1）中，16x=（4x），9=3，24x=2·4x·3，所以16x+12x+9是一个完全平方式，即
（2）分析：在（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后
22再考虑完全平方公式，因为4y=（2y），4xy=2·x·2y．
所以： 2
22 =-[x-2·x·2y+（2y）]2 =-（x-2y）．
练一练：
把下列多项式分解因式：
222 （1）6a-a-9； （2）-8ab-16a-b；
23222 （3）2a-a-a； （4）4x+20（x-x）+25（1-x）
22
2
2
5、八年级数学因式分解教学设计与反思
八年级数学因式分解教学设计与反思 因式分解是进行代数式恒等变形的重要方法之一，因式分解是在学习整式四则运算之后进行的，它不仅在多项式的除法、简便运算中等有直接的、便利的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解一元二次方程及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础，因此学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。由于本节课后学习提取公因式法，运用公式法，分组分解法，十字相乘法来进行因式分解，这些方法的学习必须以理解因式分解的概念为前提，所以本节内容的重点是要把因式分解的概念理解透彻、讲解清楚。由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对学习北师大版本的八年级的学生已经有了一定的学习与练习，接受起来也较为轻松自如，再者本节还没涉及因式分解的具体方法，所以理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法是教学中的难点. 教学目标
知识目标：
（1）理解因式分解的概念和意义
（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智力，进一步训练学生逆向思维能力和综合运用能力。
情感目标：培养学生独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度，以及同学之间的意识。
可用的教学方法
1、采用以设疑探究的引课方式，激发学生的求知欲望，提高学生的学习兴趣和学习积极性。
2、把因式分解概念与整式乘法的关系作为主线，训练学生思维，以设疑——释疑——总结——运用为主要教学程序，充分遵循学生的认知规律，使学生能顺利地掌握重点，突破难点，提高能力。
3、在课堂教学中，引导学生体会知识产生发展的过程，坚持启发式教学，鼓励学生充分地动脑、动口、动手，积极参与到教学中来，充分利用我校四步八环节的教学模式体现学生学习的主动性原则。
4、在充分尊重教材的前提下，融教材练习、做一做、想一想于教学过程中，增设由浅入深、内容各不相同却又紧密相关的训练题目，为学生顺利掌握因式分解概念及其与整式乘法关系创造了有利条件。 教学过程安排
一、提出问题，创设情境 问题：比一比，看谁算得快？ (1)若a=101,b=99,则a-b=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400 (2)若a=99,b=-1,则a-2ab+b=(a-b)=(99+1)=10000 (3)若x=-3,则20x+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0
二、观察分析，探究新知
(1)请每题想得最快的几个同学谈思路，通过分析比较得出最佳解题方法
(2)观察：a-b=(a+b)(a-b) ①的左边是一个什么式子？右边又是什么形式？
a-2ab+b=(a-b)② 20x+60x=20x(x+3) ③ (3)类比小学学过的因数分解概念，（例42=2×3×7 ④）得出因式分解概念。 板书课题： 因式分解
1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。
三、独立练习，巩固新知 练习
1．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
①（x+2）（x-2）=x-4 ② x-4 =（x+2）（x-2）
2222
222
22
2
2
2 22③a-2ab+b=（a-b） ④3a（a+2）=3a+6a ⑤3a+6a=3a（a+2）
（因式分解）结合：a-b=========（a+b）（a-b）（整式乘法）
说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；
从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。
小试身手：填一填，并说一说下列变形那些是因式分解，那些是整式的乘法 (1) xy( )=2xy-6xy(3) 2x( )=2xy-6xy
22
2 2
22
2222
（2）2xy-6xy=xy(
) （4）2xy-6xy=2x(
)
2
2
22
四、强化训练，掌握新知： 练习3：把下列各式分解因式：
(1)2ax+2ay (2)3mx-6nx (3) xy+xy(4) x+x (5) x-0.01 （让学生上来板演）
五、整理知识，形成结构（即课堂小结）
1．因式分解的概念 因式分解是整式中的一种恒等变形
2
22
22．因式分解与整式乘法是两种相反的恒等变形，也是思维方向相反的两种思维方式，因此，因式分解的思维过程实际也是整式乘法的逆向思维的过程。
3．利用2中关系，可以从整式乘法探求因式分解的结果，也可以检验分解因式是否正确。
4．教学中渗透对立统一，以不变应万变的辩证唯物主义的思想方法。
六、布置作业： P94页
1、2题 评价与反馈
1．通过由学生自己得出因式分解概念及其与整式乘法的关系的结论，了解学生观察、分析问题的能力和逆向思维能力及创新能力。发现问题，及时反馈。
2．通过例题及练习，了解学生对概念的理解程度和实际运用能力，最大限度地让学生暴露问题和认知误差，及时发现和弥补教与学中的遗漏和不足，从而及时调控教与学。 3．通过课后作业，了解学生对知识的掌握情况与综合运用知识及灵活运用知识的能力，教师及时批阅，及时反馈讲评，同时对个别学生面批作业，可以更及时、更准确地了解学生思维发展的情况，矫正的针对性更强。
4．通过课堂小结，了解学生对概念的熟悉程度和归纳概括能力、语言表达能力、知识运用能力，教师恰当地给予引导和启迪。
总计三课时 教学准备 教学目标 知识与能力
1．了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式；
2．通过找公因式，培养观察能力． 过程与方法
1．了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系； 2．了解公因式概念和提取公因式的方法；会用提取公因式法分解因式． 情感态度与价值观
1．在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法；
2．培养观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法； 教学重难点
重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来．
难点： 识别多项式的公因式． 教学过程
一、 新课导入 请同学们想一想？99－99能被100整除吗？ 解法一：99－99=970299－99 =970200 解法二：99－99=99（99－1） =99（99＋1）（99－1） =100×99×98 =970200 （1）已知：x=5，a-b=3，求ax-bx的值． （2）已知：a=101，b=99，求a-b的值． 你能说说算得快的原因吗？ 解：（1） ax-bx=x（a－b） =25×3=75．
（2） a-b=（a＋b）（a－b） =（101＋99）（101－99） =400
二、新知探究
1、做一做： 计算下列各式： ①3x(x-2)= __3x-6x ②m(a+b+c)= ma+mb+mc ③(m+4)(m-4)= m-16 ④(x-2)= x-4x+4 2
222222
22
2
22
2
323
3⑤a(a+1)(a-1)= a-a 根据左面的算式填空： ①3x-6x=( 3x__ )(_x-2__) ②ma+mb+mc=(_m_)(a+b+c_) ③m-16=(_m+4)(m-4_) ④x-4x+4=(x-2) ⑤a-a=(a)(a+1)(a-1) 左边一组的变形是什么运算？右边的变形与这种运算有什么不同？右边变形的结果有什么共同的特点？
总结： 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
整式乘法 因式分解与整式乘法是互逆过程 因式分解 在am＋bm=m(a+b)中，m叫做多项式各项的公因式． 公因式：
即每个单项式都含有的相同的因式． 提公因式法：
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法． 32
222
3确定公因式的方法：
（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
（3）相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂．
三、例题分析
例1 把12ab+16abc分解因式． 解：12ab+16abc =4ab·3a+ 4ab ·4c = 4ab (3a + 4c) 提公因式后，另一个因式： ①项数应与原多项式的项数一样； ②不再含有公因式．
例2 把2ac(b+2c)- (b+2c)分解因式． 解：2ac(b+2c) －(b+2c) = (b+2c)(2ac-1) 公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式．
32223223
24323243
＝－x(x－x＋1) 多项式的第一项是系数为负数的项，一般地，应提出负系数的公因式．但应注意，这时留在括号内的每一项的符号都要改变，且最后一项“－x”提出时，应留有一项“＋1”，而不能错解为－x(x－x)．
四、当堂训练
1．（1）9xy－12xy＋18xy中各项的公因式是 3xy_. （2）5x－25x的公因式为 5x . （3）－2ab＋4ab的公因式为-2ab. （4）多项式x－1与(x－1)的公因式是x-1．
2．如果(x+y)(x-xy+y)-(x+y)xy有公因式(x+y)，那么另外的因式是 (x-y) 3．分解因式 （1）
2
222
22
2
32233
2
322
32
5．找出下列各多项式的公因式，并尝试将各多项式因式分解．
6．
把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做分解因式，分解因式和整式乘法互为逆运算． 2．确定公因式的方法
一看系数 二看字母 三看指数 3．提公因式法分解因式步骤（分两步） 第一步 找出公因式； 第二步 提公因式. 4．用提公因式法分解因式应注意的问题 （1）公因式要提尽；
（2）某一项全部提出时，这一项除以公因式时的商是1，这个1不能漏掉；
（3）多项式的首项取正号． 板书
把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
二、提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法． am＋bm=m(a+b)
二、例题分析
例
1、例
2、例
3、
三、当堂训练 第二课时 教学准备 教学目标
1、能较熟练地应用平方差公式、完全平方公式分解因式；
2、进一步理解因式分解与整式乘法之间的关系。
3、培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法,并能说出提公因式法在这类因式分解中的作用. 教学重难点
重点：把符合公式形式的多项式写成公式的形式，并分解因式
难点：灵活应用公式法分解因式，并理解因式分解的要求. 教学过程
一、 新课导入 1.如何理解因式分解？
把一个多项式分解成几个整式的积的形式. 2.什么是提公因式法分解因式? 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. ma+mb+mc=m(a+b+c) 3.判断下列各式是因式分解的是 A . (1) (x+2)(x-2)=x-4
2(2) x-4=(x+2)(x-2) (3) x-4+3x=(x+2)(x-2)+3x 4. 8mn+2mn=2mn(4m+1) 5. 2x(x-2y)+4y(2y-x) = 2x(x-2y)-4y(x-2y) =2(x-2y)(x-2y) =2(x-2y)
这节课我们再学习一种分解因式的方法 板书课题：14.3.2 因式分解－公式法
二、新知探究
1、平方差公式
把整式乘法的平方差公式(a＋b)(a－b)=a－b反过来，就得到a－b= (a＋b)(a－b)，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是（A） A．a－b=(a＋b)(a－b) B．(a＋b)2=a+2ab+b C．(a－b)=a－2ab＋b D．(a+2b)(a－b)=a+ab－2b
222
222
22222
2
22222
2、例题分析
例1 把下列各式因式分解：
例2 若n是整数，证明(2n+1)-(2n-1)是8的倍数． 证明： (2n+1)-(2n-1)
=（2n＋1＋2n-1）（2n＋1-2n＋1） =4n×2 =8n 因为n是整数，所以原式是8的倍数． 例3 计算下列各式的值：
222
2
3、完全平方公式 a+2ab+b=(a+b) a-2ab+b=(a-b)
如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方公式把它因式分解，它等于这两个数的和（或差）的平方．
观察图形，根据图形的面积关系，不需要其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是a+2ab+b=(a+b)． 2
2222
222
四、当堂训练
一、填空
课后小结
2.因式分解的步骤是:首先提取公因式,然后考虑用公式法. 3.因式分解应进行到每一个因式不能分解为止. 4.计算中应用因式分解,可使计算简便. 板书
二、公式法分解因式的概念 a－b=（a+b)(a-b). 222
2222
22
2a+2ab+b=(a+b) a-2ab+b=(a-b)
三、例题分析 例
1、例
2、 例
3、例
4、
四、当堂训练
五、小结 22
2222
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